Vektor \( \textbf{a} \) dan \( \textbf{b} \) membentuk sudut \(\alpha\) dengan \( \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{7}} \). Jika \( |\textbf{a}| = \sqrt{5} \) dan \( \textbf{a} \cdot \textbf{b} = \sqrt{30} \), maka \( \textbf{b} \cdot \textbf{b} = \cdots \) (SBMPTN 2007)
- \( 5 \)
- \( 6 \)
- \( 7 \)
- \( 8 \)
- \( 9 \)
Pembahasan:
Untuk \( \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{7}} \), maka \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} \). Kemudian berdasarkan rumus aturan perkalian titik dua vektor, diperoleh:
\begin{aligned} \textbf{a} \cdot \textbf{b} &= |\textbf{a}| \cdot |\textbf{b}| \cdot \cos \alpha \\[8pt] \cos \alpha &= \frac{\textbf{a} \cdot \textbf{b}}{|\textbf{a}| \cdot |\textbf{b}|} \\[8pt] \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} &= \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{5} \cdot |\textbf{b}|} \\[8pt] |\textbf{b}| &= \frac{\sqrt{30} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{7} \\[8pt] \textbf{b} \cdot \textbf{b} &= |\textbf{b}|^2 = (\sqrt{7})^2 = 7 \end{aligned}
Jawaban C.